A.- És conegut que a l’Illa de l’Escaquer circulen només quatre tipus de segells amb valor facial de 1, 4, 7 i 10 enginys respectivament. Se sap també que una de les normes de l’E.S.C.A.C. impedeix franquejar una carta amb més de quatre segells per sobre. Amb aquestes dades, podeu calcular quin és el menor valor postal que no podrem aconseguir mai?
B.- Pensant en els filatelistes, l’E.S.C.A.C. posa a la venda tres col·leccions de segells que contenen, respectivament, 6, 9 i 20 unitats. Sabent això, podeu calcular quin és el major nombre de segells que no podem adquirir?
TROBAREU LA SOLUCIÓ ALS COMENTARIS. FELICITATS A " Carme Rosanas "
12 comentaris:
Als segells hi ha el careto d'algun rei?
XAVIER: No, l'Illa de l'Escaquer és una república... però, per si et serveix et diré que tenen un president molt "campetxà" al que tracten com un rei. ;-)
A: Crec que és el 23 perquè es pot fer amb 10 -10 - 1 -1 -1 i ja són 5 segells.
A veure si algú es rumia l'altre...
Això del "major nombre" no ho acabo d'interpretar...
No acabo d'entendre la pregunta... menor valor postal que NO podrem aconseguir?
Major nombre de segells que NO podrem aconseguir? Uissss...
Assumpta, jo la primera part, l'entenc així: Hi ha molts valors postals que amb la combinació de segells es poden aconseguir, però com que les normes ens donen la limitació a 4 segells no es poden acosegir tots els valors. Així:
Valor d'1 enginy = 1 segell d'1
valor de 2enginys= 2 segells d'1
Valorde 3 enginys= 3 segells d'1
Valor de 4 enginys = 1 segell de 4
valor de 5 enginys = 1 segell de 4 i un d'1
valor de 6 enginys = 1 segell de 4 i 2 d'1
valor de 7 enginys = 1 segell de 7
valor de 8 enginys = 1 segell de 7 i 1 d'1
valor de 9 enginys = 1 segell de 7 i 2 d'1
vaor de 10 enginys = 1 segell de 10
valor d'11 enginy = 1 segell de 10 i 1 d'1
valor de 12 enginys = 1 segell de 10 i 2 d'1
valor de 13 enginys = 1 segell de 10 i 3 d'1 (ja fan 4, però encara es pot)
valor de 14 enginys = 1 segell de 10 i 1 de 4
valor de 15 enginys = 1 segell de 10, un de 4 i 1 d'1
valor de 16 enginys = 1 segell de 10, un de 4 i 2 d'1 (tornen a fer 4 segells)
valor de 17 enginys = 1 segells de 10 i un de 7
valorde 18 enginys = 1 segell de 10, 1 de 7 i 1 d'1
valor de 19 enginys = 1 segell de 10, 1 de 7 i 2 d'1
valor de 20 enginys = 2 segells de 10
valor de 21 enginys = 2 segells de 10 i 1 d'1
valor de 22 enginys = 2 segells de 10 i 2 d'1 (fal 4 segells de nou)
I ara... tatxan!!!!
Valor de 23 enginys = 2 segells de 10 i 3 d'un (fan 5 segells i les normes no ho permeten)
O sigui tots els valors postals fins a 22 els podem aconseguir dins les normes, per això el 23 és el menor valor postal que NO podrem aconseguir (dins les normes, clar)
Ara, el Major nombre de segells que no podem aconseguir... tampoc l'entenc.
CARME: La teva solució al primer enigma és ben correcta i la genial (per senzilla i aclaridora) explicació que en fas després ho confirma sense cap possibilitat de dubte. Efectivament, aplicant les premisses de l'enunciat, 23 enginys és el mínim valor postal possible.
Pel que fa al segon enigma, no et diré que "major nombre" vol dir "la quantitat més gran" perquè suposo que això ja t'ho penses, així que intentaré explicar-te el que ens demana el LLIBRE amb uns quants exemples. Si l'enunciat ens demanés, com a l'enigma A, el "menor nombre de segells que no podem comprar" ho tindríem fàcil: la resposta seria "1" perquè no podem comprar només 1 segell. Però busquem la quantitat més gran que no podem comprar així que anem pujant: tampoc en podem comprar 2, ni 3, ni 4, ni 5. Sí que en podem comprar 6 però tampoc 7, ni 8... i així successivament fins trobar aquest nombre màxim que ens demanen. Sort!
ASSUMPTA: Aquests "NO" que ressaltes de l'enunciat és, justament, el que fa que estiguem davant de dos enigmes. Sinó la solució seria ben clara, en el cas del primer enigma, el "menor valor postal que SÍ podrem aconseguir" seria 1 (posant només un segell d'1 enginy al sobre) i en el cas del segon enigma, el "major nombre de segells que SÍ podrem aconseguir" seria infinit perquè l'aconseguiríem comprant infinits paquets de segells. Però ens demanen els valors que NO podem abastar i això ens complica una mica més les coses (que, de fet, és del que és tracta :-D). Suposo que amb l'explicació de la CARME, t'ha quedat clar el que busquem pel que fa a l'enigma A. En quant a l'enigma B, el concepte és similar, com hauràs vist si has llegit la meva resposta a la CARME just aquí dalt. Tot i així, he d'afegir que si aquest post té l'etiqueta "difícil" és més per aquest segon enigma que pel primer.
Doncs, ni t'explico com ho he fet... si algú ho sap explicar, ja compartirem el rètol, però crec que és el 43.
No es poden comprar ni 1, ni 2, ni 3, ni 4, ni 5, ni 7, ni 8, ni 10, ni 11, ni 13, ni 14, ni 16, ni 17, ni 19, ni 22, ni 23, ni 25, ni 28, ni 31, ni 34, ni 37, ni 43.
Totes les altres quantitats de segells es poden comprar.
Bon dia Mc, torno per explicar-te una cosa. Una cosa de com funciona o com no funciona el pensament, he, he, he.
No és pas que no entengués la pregunta, només era que tenia una "creença" prèvia que feia que pensés que aquesta pregunta no tenia solució. La meva crrença (previa a qualsevol intent de resoldre l'enigma) era que per tota la seqüència infinita de nombres naturals, sempre n'hi hauria alguns que es poguessin comprar amb aquestes col·lesccions i uns altres que no i em veia abocada a l'infinit.
La teva explicació, tot i que em deia just el mateix que jo entenia des del principi, va tenir la virtud de fer-me reflexionar i fer-me pensar que potser la meva creença era equivocada. I realment és sorprenent, (per a mi, al menys) però cert que a partir del 43, tot els nombres es poden fer amb alguna o altra combinació.
Val la pena comprovar com les creences prèvies no ens deixen veure la realitat i això "crec" que és cert per a gairebé tots els temes.
Bé desprès d'aquest rotllet, et dono les gràcies per provocar tantes reflexions i pensaments, per permetre experimentar jugant, tantes coses que van més enllà del propi joc i et torno a desitjar un bon dia i un bon cap de setmana. El Xarel-10 és més que un blog, ja ho veus. 😘😘
O potser queda encara millor "El Xarel-10 és més que un joc”
CARME: Començo pel final per donar-te les gràcies pel "rotllet". :-) M'agrada això que em dius i no només pels elogis al meu blog sinó també perquè això que comentes és completament cert. Moltes vegades els apriorismes ens impedeixen avançar pel camí correcte, tenim una idea prefixada de per on hem d'anar i obviem provar altres mètodes que poden ser els bons. Parlo de solucionar enigmes però, també com fas tu, de molts altres aspectes de la nostra vida. Jo sempre he pensat que és bo aprendre a acceptar que no sempre tenim tota la raó i que això no vol dir que siguem "rucs" sinó tot el contrari. :-)
Parlant de l'enigma, efectivament la solució correcta és 43 com molt bé ens dius i la teva explicació és suficient perquè t'emportis el rètol vermell amb tot mereixement. Felicitats!! :-))
El LLIBRE ho fa una mica més llarg però diu exactament el mateix:
A.- El número no disponible més petit és 23. La suma de (1+4+7+10) és 22 i com que no hi ha cap segell que superi per 1 a un altre, no podrem afegir una unitat a aquesta suma. Donat que els segells augmenten en trams de 3, cada suma anterior només podria aconseguir-se afegint un segell de valor 1 però la limitació de 4 segells per carta ens ho impedeix.
B.- Comencem calculant quines quantitats SÍ es poden obtenir com a combinació lineal dels nombres 6, 9 i 20, és a dir, els que surten de la fórmula (6x + 9y + 20z) que ens donarà la quantitat de segells continguts en X paquets de 6, Y paquets de 9 i Z paquets de 20, essent X, Y i Z nombres enters no negatius. Són: 6, 9, 12 (2x6), 15 (6+9), 18 (2x9 o 3x6), 20, 21 (2x6+9), 24 (4x6), 26 (6+20), 27 (3x9), 29 (9+20), 30 (5x6), 32 (2x6+20), 33 (3x9+6), 35 (6+9+20), 36 (6x6), 38 (2x9+20), 39 (5x6+9), 40 (2x20), 41 (2x6+9+20), 42 (6+4x9). Fins aquí els nombres que NO podem obtenir són: 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 14, 16, 17, 19, 22, 23, 25, 28, 31, 34, 37 i 43. I què passa a partir del número 43? Doncs observem que sí podem obtenir els sis següents: 44 (6x4+20), 45 (3x9+3x6), 46 (6+2x20), 47 (3x9+20), 48 (8x6) i 49 (9+2x20) i, en conseqüència, també podem obtenir qualsevol altre número més gran ja que el podrem aconseguir afegint més i més paquets de 6 segells a algun d'aquests sis números. Per tant, resulta que la quantitat més gran que no es pot aconseguir exactament a partir de conjunts de 6, 9 i 20 unitats és 43.
Nota: El nombre més gran que no es pot obtenir amb una suma simple de diversos elements de cada grup de valors s’anomena "Nombre de Frobenius", matemàtic alemany de finals del s. XIX. I els nombres que sí es poden obtenir amb la combinació lineal de 6, 9 i 20 s'anomenen "Nombres McNugget" perquè aquestes quantitats eren els continguts de les capses originals dels McDonald's® Chicken McNuggets i el problema de calcular-los se li va acudir al matemàtic Henri Picciotto un dia que sopava amb el seu fill en un d'aquests restaurants de menjar ràpid.
Motes gràcies Mc! Moltes gràcies LLIBRE, per aquesta magnífica explicació amb Nota inclosa.
Publica un comentari a l'entrada