Càlcul en llatí (Especial Setmana Santa - 2011)

   Ja que estem en dies de festa he pensat que és un bon moment per posar-vos un Enigma Especial Fora de Programa i aprofitar per parlar-vos de Matemàtica Avançada. Tan avançada que retrocedirem fins a finals del s. XVIII per trobar a Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855), un matemàtic i científic alemany conegut com "el Príncep dels matemàtics" i el "més gran matemàtic des de l'antiguitat". La seva obra magna "Disquisitiones Arithmeticae" la va escriure a l'edat de 21 anys, tot i que no seria publicada fins el 1801 (a la imatge que encapçala aquest post podeu veure la portada de la primera edició) i fou una obra fonamental per consolidar la teoria dels nombres com a disciplina, influint en aquest camp fins a l'actualitat.

   En aquest llibre va ser on Gauss va introduir les bases de l'Aritmètica Modular, un conjunt de mètodes que permeten la resolució de problemes sobre els nombres enters. Aquests mètodes sorgeixen de l'estudi del residu obtingut per una divisió i així apareix el concepte de MÒDUL o MOD que es refereix justament a la resta o residu d'una divisió. Per exemple, tenim que 15 mod 3 és igual a 0 perquè 15 dividit per 3 dóna 5 i no en sobra cap o, en un altre exemple, 15 mod 7 és igual a 1 perquè 15 dividit per 7 dóna 2 i en sobra 1 (hem de pensar com quan fèiem les divisions amb llapis i paper).

   El mateix C. F. Gauss va crear unes fórmules basades en això que acabem de dir i que us demanaria que m'ajudéssiu a resoldre seguint una sèrie de passos relativament senzills:

1.- Per començar hem de triar un número Z entre 1.900 i 2.100, en el nostre cas escollim Z = 2.011 i també sabem el valor de dues constants més que són M = 24 i N = 5.

2.- Hem de calcular el valor de a, a la fórmula a = Z mod 19 ("a" serà el residu de dividir 2011 entre 19)

3.- Hem de calcular el valor de b, a la fórmula b = Z mod 4

4.- Hem de calcular el valor de c, a la fórmula c = Z mod 7

5.- Hem de calcular el valor de d, a la fórmula d = (19a + M) mod 30

6.- Hem de calcular el valor de e, a la fórmula e = (2b + 4c + 6d + N) mod 7

7.- Una vegada fets aquests càlculs hem de sumar (d + e). El resultat d'aquesta suma pot ser un número més petit que 10 o, al contrari, superior a 9. Segons sigui una cosa o l'altra, continueu amb les instruccions dels punts següents:

8a.- Si (d + e) < 10, resulta que aleshores Y = 3 i X = (d + e + 22)

8b.- Si (d + e) > 9, resulta que aleshores Y = 4 i X = (d + e - 9). Aquesta última fórmula té dues excepcions: En el cas que ens doni un valor de X = 26, el descartarem i agafarem X = 19; i en el cas que X = 25 (sempre que d = 28, e = 6 i a > 10) el valor correcte serà X = 18.

   Arribats aquí tindrem tres valors anomenats X, Y i Z que si els llegim en aquest ordre ens haurien de permetre contestar a la pregunta de l'enigma d'avui que us poso a continuació:

Es pot saber què hem calculat?

o, dit d'una altra manera,

Per a què serveixen aquestes fórmules de Herr Gauss?

TROBAREU LA SOLUCIÓ ALS COMENTARIS. FELICITATS A " Quim Soler "

Editat el 24.04.2011

   Avui és diumenge de Pasqua, des del punt de vista de la fe és el dia més important del Cristianisme ja que avui culmina la Setmana Santa amb la celebració de la Pasqua de Resurrecció de Nostre Senyor Jesucrist.

   La data de la Pasqua varia cada any perquè no depén del calendari gregorià (exclusivament solar) sinó de l'antic calendari solar/lunar ja que es considera diumenge de Pasqua el diumenge següent a la Pasqua Jueva que es celebra a la primera lluna plena de primavera (o sigui, la primera que hi hagi a partir del 21 de març, inclòs).

   El càlcul d'aquesta data s'anomena COMPUTUS (càlcul en llatí) des de principis de l'Edat Mitjana ja que fou un dels problemes matemàtics amb més importància d'aquella època. Amb el temps s'han utilitzat diferents mètodes per trobar aquesta data i actualment un dels més senzills són aquestes fòrmules de Gauss que us mostro al post, un algoritme que és vàlid per calcular la data del Diumenge de Pasqua entre 1583 i 2299 només canviant els valors (M) i (N) segons l'any (Z):

Anys 1583 a 1699:   M=22   i   N=2

Anys 1700 a 1799:   M=23   i   N=3

Anys 1800 a 1899:   M=23   i   N=4

Anys 1900 a 2099:   M=24   i   N=5

Anys 2100 a 2199:   M=24   i   N=6

Anys 2200 a 2299:   M=25   i   N=0