| 4 | 9 | 2 |
| 3 | 5 | 7 |
| 8 | 1 | 6 |
Un QUADRAT MÀGIC és una quadrícula numèrica on la suma dels valors de cadascuna de les seves files, columnes i diagonals és la mateixa.
Tot i que pot haver-hi altres variacions, usualment les caselles dels quadrats màgics típics s’omplen amb els nombres enters consecutius des de l’1 a N². Aquest valor N equival a l’Ordre del Quadrat, és a dir el seu nombre de files o columnes.
Encapçalant aquest post i com a exemple, podem veure un quadrat màgic d’ordre 3 (amb tres files i tres columnes) format amb els nombres de l’1 al 9 (3²) que compleix que les seves tres files (4+9+2, 3+5+7, 8+1+6), les tres columnes (4+3+8, 9+5+1, 2+7+6) i les dues diagonals (4+5+6, 8+5+2) sumen 15.
Aquest resultat idèntic que resulta de sumar els valors que trobem a cada fila, columna o diagonal s’anomena Constant Màgica i és la resultant del sumatori de totes les xifres que omplen el quadrat dividit pel nombre de files o columnes que el formen. Com hem vist, el quadrat màgic d’ordre 3 de l’exemple té una constant màgica igual a 15 [(1+2+3+4+5+6+7+8+9) / 3 = 15] i de la mateixa manera podríem calcular aquest valor per a qualsevol altre quadrat màgic. En el cas dels quadrats típics (els que s’omplen amb els nombres enters consecutius de l’1 a N²) podem utilitzar la fórmula M = (N³ + N) / 2 que ens permet trobar la constant màgica (M) a partir de l’ordre del quadrat (N). Així tenim que per a N=3 ens dona M = 15 com ja s’ha dit i també és fàcil calcular que M valdrà 34 en un quadrat màgic d’ordre 4, 65 en un d’ordre 5, 111 en un quadrat d’ordre 6 i així successivament. Cal fer constar que només hi ha una manera (sense comptar els simètrics que es poden obtenir per rotació o reflexió) de completar un quadrat màgic típic d’ordre 3, però en podem obtenir fins a 880 de diferents d’ordre 4 i n’hi ha 275.305.224 d'ordre 5. És clar que aquestes xifres es multipliquen fins a l’infinit si incloem els quadrats màgics formats amb altres nombres més enllà dels enters consecutius de l’1 a N² perquè és evident que un quadrat continua sent màgic si sumen, restem o multipliquem tots els seus elements per un mateix número o que també podem formar quadrats màgics omplint-ne les caselles amb valors diversos sempre que compleixin la regla que la suma de files, columnes i diagonals sigui la mateixa.
La història dels QUADRATS MÀGICS és ancestral i ja els trobem a les antigues cultures xinesa, àrab o hindú on, des de temps remots, s’han considerat uns signes de bona sort i s’han utilitzat per confeccionar talismans i amulets. Diu la llegenda que l’origen dels quadrats màgics es remunta a l’any 2200 aC. En aquells temps, a la mil·lenària Xina, va sortir del riu Lo una gran tortuga (símbol de l’eternitat) que tenia a la seva closca una sèrie de taques de diferents colors. Substituint aquestes taques per números, s’obtenia un senzill trencaclosques aritmètic on els nombres de l’1 al 9 estaven ordenats perquè sempre sumessin 15. Segons s’explica al «Llibre dels Ritus», un dels Cinc Clàssics xinesos del cànon confucià, aquesta curiosa distribució va inspirar a l’emperador Yu el Gran el tractat anomenat «El Gran Pla» que va fer servir de base per governar el seu regne. A continuació podeu veure una representació d’aquest quadrat màgic original que, com ja haureu endevinat, es correspon a l’exemple que he comentat abans i que també encapçala el post.
Tot i que pot haver-hi altres variacions, usualment les caselles dels quadrats màgics típics s’omplen amb els nombres enters consecutius des de l’1 a N². Aquest valor N equival a l’Ordre del Quadrat, és a dir el seu nombre de files o columnes.
Encapçalant aquest post i com a exemple, podem veure un quadrat màgic d’ordre 3 (amb tres files i tres columnes) format amb els nombres de l’1 al 9 (3²) que compleix que les seves tres files (4+9+2, 3+5+7, 8+1+6), les tres columnes (4+3+8, 9+5+1, 2+7+6) i les dues diagonals (4+5+6, 8+5+2) sumen 15.
Aquest resultat idèntic que resulta de sumar els valors que trobem a cada fila, columna o diagonal s’anomena Constant Màgica i és la resultant del sumatori de totes les xifres que omplen el quadrat dividit pel nombre de files o columnes que el formen. Com hem vist, el quadrat màgic d’ordre 3 de l’exemple té una constant màgica igual a 15 [(1+2+3+4+5+6+7+8+9) / 3 = 15] i de la mateixa manera podríem calcular aquest valor per a qualsevol altre quadrat màgic. En el cas dels quadrats típics (els que s’omplen amb els nombres enters consecutius de l’1 a N²) podem utilitzar la fórmula M = (N³ + N) / 2 que ens permet trobar la constant màgica (M) a partir de l’ordre del quadrat (N). Així tenim que per a N=3 ens dona M = 15 com ja s’ha dit i també és fàcil calcular que M valdrà 34 en un quadrat màgic d’ordre 4, 65 en un d’ordre 5, 111 en un quadrat d’ordre 6 i així successivament. Cal fer constar que només hi ha una manera (sense comptar els simètrics que es poden obtenir per rotació o reflexió) de completar un quadrat màgic típic d’ordre 3, però en podem obtenir fins a 880 de diferents d’ordre 4 i n’hi ha 275.305.224 d'ordre 5. És clar que aquestes xifres es multipliquen fins a l’infinit si incloem els quadrats màgics formats amb altres nombres més enllà dels enters consecutius de l’1 a N² perquè és evident que un quadrat continua sent màgic si sumen, restem o multipliquem tots els seus elements per un mateix número o que també podem formar quadrats màgics omplint-ne les caselles amb valors diversos sempre que compleixin la regla que la suma de files, columnes i diagonals sigui la mateixa.
La història dels QUADRATS MÀGICS és ancestral i ja els trobem a les antigues cultures xinesa, àrab o hindú on, des de temps remots, s’han considerat uns signes de bona sort i s’han utilitzat per confeccionar talismans i amulets. Diu la llegenda que l’origen dels quadrats màgics es remunta a l’any 2200 aC. En aquells temps, a la mil·lenària Xina, va sortir del riu Lo una gran tortuga (símbol de l’eternitat) que tenia a la seva closca una sèrie de taques de diferents colors. Substituint aquestes taques per números, s’obtenia un senzill trencaclosques aritmètic on els nombres de l’1 al 9 estaven ordenats perquè sempre sumessin 15. Segons s’explica al «Llibre dels Ritus», un dels Cinc Clàssics xinesos del cànon confucià, aquesta curiosa distribució va inspirar a l’emperador Yu el Gran el tractat anomenat «El Gran Pla» que va fer servir de base per governar el seu regne. A continuació podeu veure una representació d’aquest quadrat màgic original que, com ja haureu endevinat, es correspon a l’exemple que he comentat abans i que també encapçala el post.
Al món occidental van ser mencionats per primera vegada als escrits de Teó d’Esmirna, al voltant del 130 aC i se sap que al segle IX de la nostra era, aquests quadrats eren usats pels astròlegs en la confecció d’horòscops. Però no va ser fins més endavant, cap allà l’any 1300 i gràcies al matemàtic grec Moscòpul, que els quadrats màgics i les seves propietats es van expandir per tot Occident, aprofitant els aires de renovació del Renaixement.
A Europa, el quadrat màgic més famós és d’ordre 4 i és el que apareix al gravat «La Malenconia» de l’artista alemany Albrecht Dürer (1471 – 1528). La seva constant màgica és 34 i els nombres centrals de l’última fila són el 15 i el 14 per assenyalar que aquest gravat es va fer l’any 1514.
A Catalunya, és ben conegut el quadrat màgic que l’escultor Josep Maria Subirachs (1927 – 2014) va incloure en el conjunt escultòric de la façana de la Passió de la Sagrada Família de Barcelona. És també un quadrat 4x4, tot i que estrictament no seria un quadrat màgic perquè incompleix la condició de no repetir les xifres. El motiu d’això és que Subirachs va modificar el quadrat màgic de Dürer suprimint els valors 12 i 16 i repetint els nombres 14 i 10 per aconseguir que la constant màgica passés a ser 33 (en comptes de 34), una xifra simbòlica en el món cristià perquè tradicionalment es considera que Jesús tenia trenta-tres anys quan va ser crucificat. Ho expliquen més a bastament en el post del blog de la Sagrada Família que us deixo en aquest ENLLAÇ.
A Europa, el quadrat màgic més famós és d’ordre 4 i és el que apareix al gravat «La Malenconia» de l’artista alemany Albrecht Dürer (1471 – 1528). La seva constant màgica és 34 i els nombres centrals de l’última fila són el 15 i el 14 per assenyalar que aquest gravat es va fer l’any 1514.
A Catalunya, és ben conegut el quadrat màgic que l’escultor Josep Maria Subirachs (1927 – 2014) va incloure en el conjunt escultòric de la façana de la Passió de la Sagrada Família de Barcelona. És també un quadrat 4x4, tot i que estrictament no seria un quadrat màgic perquè incompleix la condició de no repetir les xifres. El motiu d’això és que Subirachs va modificar el quadrat màgic de Dürer suprimint els valors 12 i 16 i repetint els nombres 14 i 10 per aconseguir que la constant màgica passés a ser 33 (en comptes de 34), una xifra simbòlica en el món cristià perquè tradicionalment es considera que Jesús tenia trenta-tres anys quan va ser crucificat. Ho expliquen més a bastament en el post del blog de la Sagrada Família que us deixo en aquest ENLLAÇ.
Segons les seves característiques, alguns quadrats màgics concrets reben una denominació especial. Entre d’altres, podríem trobar els ANTIMÀGICS que són els quadrats sense constant màgica perquè les sumes de les files, columnes i diagonals són totes diferents; els SEMIMÀGICS, quan només coincideixen les sumes de les files i les columnes, però no les de les diagonals; els BIMÀGICS (o els TRIMÀGICS) quan després d’elevar al quadrat (o al cub) totes les seves xifres s’obté un altre quadrat màgic; els CONCÈNTRICS que són els quadrats màgics que n’inclouen un altre (o altres) a l’interior; els MULTIPLICATIUS on la constant màgica resulta de la multiplicació dels valors de les files, columnes i diagonals; els DIABÒLICS (o PANMÀGICS) que són aquells on també les diagonals complementàries [les dues diagonals paral·leles a la principal] sumen la constant màgica; els PERFECTES que presenten la constant màgica en la suma de files, columnes, diagonals, diagonals complementàries i també en els subquadrats interiors o en els valors dels cantons; els ALFAMÀGICS quan les xifres que omplen el quadrat s’escriuen amb el seu nom i resulta que el nombre de lletres d’aquests noms també formen un quadrat màgic; el del TAULER D’ESCACS, fet pel matemàtic suís Leonhard Euler que en un quadrat 8x8 va distribuir els números de l’1 al 64 de manera que es pot anar consecutivament del primer a l’últim seguint els moviments d’un cavall d’escacs; l’APOCALÍPTIC, creat per A. W. Johnson és d’ordre 6, està format per nombres primers i la seva constant màgica és 666...
Es coneixen diversos procediments per poder crear un quadrat màgic que comporten major o menor dificultat depenent, sobretot, de l’ordre del quadrat que volem obtenir. Per un valor de N senar, els quadrats màgics són més fàcils de generar mentre que els quadrats d’ordre parell són més complicats de fer i, dins d’aquests últims, resulten d’elaboració més directa els quadrats amb un ordre múltiple de 4 que els que tenen un N parell però no divisible per 4. A l’article que la Viquipèdia dedica a aquest joc numèric es detallen els mètodes més genèrics per construir un quadrat màgic, ho podeu veure AQUÍ.
Però per acabar aquest post, n’he triat un de força senzill que he trobat al llibre JUEGOS DE MANOS DE BOLSILLO VOL.2 (Wenceslao Ciuró – 1961). Aquest és un sistema que permet construir un quadrat màgic d’ordre 5 amb la possibilitat de començar per qualsevol xifra inicial i només seguint unes simples regles que ens indiquen que partint d’un primer número donat, el seu consecutiu estarà situat dues caselles més amunt i una a la dreta del primer, excepte quan aquest és un múltiple de 5 (5, 10, 15, 20 i 25) perquè aleshores haurem de posar el segon a dues caselles a la dreta del primer. Amb el benentès que per poder omplir tot el quadrat hem d’imaginar cadascuna de les files i les columnes com si fossin cadenes sense fi, és a dir que si hem d’avançar dues caselles i se’ns «acaba» el quadrat, el que hem de fer és continuar per l’altre extrem de la mateixa fila o columna.
Per deixar-ho més clar, millor que ho fem amb un exemple. Partim d’una quadrícula 5x5 buida. Hem d’omplir les 25 caselles amb els nombres que van de l’1 al 25 i ens diuen que comencem situant el número 13 a la segona casella de la tercera fila (és a dir, a la casella de la fila 3, columna 2 [3,2]). El 14, per tant, l’haurem de col·locar dues files més amunt i una columna a la dreta i això correspon a la casella [1,3]. Com aquest 14 ha caigut a la primera fila i no n’hi ha cap més per sobre seguirem el compte per la part de sota i així els mateixos càlculs portaran el 15 a la casella [4,4]. Ara hem arribat a un dels múltiples de cinc i, en conseqüència, per col·locar el 16 canviarem de moviment i el posarem a dues caselles a la dreta del 15, és a dir a la [4,1]; pel 17 tornarem a comptar dues files cap amunt i una a la dreta per trobar la [2,2]... i així successivament (quan arribem al número 25, continuarem amb l’1) fins a omplir totes les caselles. Si no ens equivoquem, al final haurem format el següent quadrat màgic d’ordre 5 i amb una constant màgica de valor 65.
Però per acabar aquest post, n’he triat un de força senzill que he trobat al llibre JUEGOS DE MANOS DE BOLSILLO VOL.2 (Wenceslao Ciuró – 1961). Aquest és un sistema que permet construir un quadrat màgic d’ordre 5 amb la possibilitat de començar per qualsevol xifra inicial i només seguint unes simples regles que ens indiquen que partint d’un primer número donat, el seu consecutiu estarà situat dues caselles més amunt i una a la dreta del primer, excepte quan aquest és un múltiple de 5 (5, 10, 15, 20 i 25) perquè aleshores haurem de posar el segon a dues caselles a la dreta del primer. Amb el benentès que per poder omplir tot el quadrat hem d’imaginar cadascuna de les files i les columnes com si fossin cadenes sense fi, és a dir que si hem d’avançar dues caselles i se’ns «acaba» el quadrat, el que hem de fer és continuar per l’altre extrem de la mateixa fila o columna.
Per deixar-ho més clar, millor que ho fem amb un exemple. Partim d’una quadrícula 5x5 buida. Hem d’omplir les 25 caselles amb els nombres que van de l’1 al 25 i ens diuen que comencem situant el número 13 a la segona casella de la tercera fila (és a dir, a la casella de la fila 3, columna 2 [3,2]). El 14, per tant, l’haurem de col·locar dues files més amunt i una columna a la dreta i això correspon a la casella [1,3]. Com aquest 14 ha caigut a la primera fila i no n’hi ha cap més per sobre seguirem el compte per la part de sota i així els mateixos càlculs portaran el 15 a la casella [4,4]. Ara hem arribat a un dels múltiples de cinc i, en conseqüència, per col·locar el 16 canviarem de moviment i el posarem a dues caselles a la dreta del 15, és a dir a la [4,1]; pel 17 tornarem a comptar dues files cap amunt i una a la dreta per trobar la [2,2]... i així successivament (quan arribem al número 25, continuarem amb l’1) fins a omplir totes les caselles. Si no ens equivoquem, al final haurem format el següent quadrat màgic d’ordre 5 i amb una constant màgica de valor 65.
| 8 | 21 | 14 | 2 | 20 |
| 4 | 17 | 10 | 23 | 11 |
| 25 | 13 | 1 | 19 | 7 |
| 16 | 9 | 22 | 15 | 3 |
| 12 | 5 | 18 | 6 | 24 |
 |  |  |
19 comentaris:
Ja coneixia els quadrats màgics, inclòs el fals quadrat màgic de la Sagrada Família, el que no coneixia són els noms de les variacions que són molt divertits.
PONS: Sí que ho són, divertits i fins i tot sorprenents. Jo en coneixia alguns, però d'altres com aquest "apocalíptic" per exemple, m'han vingut ben bé de nou.
Que és un post programat amb respostes programades?
NONAME: Per la teva pregunta, entenc que el contingut del post no l'has trobat del teu interès. No passa res, te la contesto igualment.
Aquest post i el que sortirà dilluns que ve que en part hi està relacionat, els vaig enllestir fa un parell de setmanes i, efectivament, els vaig deixar programats aleshores.
Pel que fa a les respostes dels comentaris no sabria pas com deixar-les programades si és que això es pot fer i, per tant, aquí estic al peu del canó com sempre, en la feina de comentar als blogs no hi ha vacances ni ponts que valguin.
Molt curiós tot això de les denominacions especials.
Mac, podries programar el meu comentari per avui dilluns a les 16:05 hores. És que em gràcia aquesta hora.😉
Aferradetes, Mac.
* Em fa gràcia, volia dir.
SA LLUNA: Fet!! Fins i tot he programat per un parell de minuts després una petita correcció sobre un "fa" que se t'havia escapat. :-DDD
Com em passa gairebé sempre que preparo aquests posts de glossari, en aquest cas també va ser una sorpresa per a mi descobrir que hi ha tantes variants (amb nom propi) dels quadrats màgics. Aquestes són les coses que em fa gràcia compartir amb tots vosaltres i que m'alegra que us agradin. Gràcies pel comentari amb la broma incorporada de la programació de respostes (que ja veig que tu tampoc saps com es fan. ;-D). Abraçades!!
Ho sabía!!! Per al tema de les comentaris programats has de deixar una IA, és clar!
*dels*
NONAME: No hi cap IA que sigui capaç de substituir el tracte personal que es mereixen els meus comentaristes. Així que continuaré fent-ho a mà i de manera personalitzada, com sempre.
Que no hi hagi ara no vol dir que al futur no podríes pujar el teu tracte personal a una IA que visqui al Cloud i aconseguir així l'immortalitat!!
Per cert, a varis CT-s del Pons's blog falten els teus comentaris personals.
Nota de peu:
Acabo d'observar que tens el quadrat màgic original regirat, amb el N apuntant cap al S i el E cap al W, és una moda catalana o què passa?
NONAME: Començo pel final. No m'havia adonat que la imatge del quadrat màgic xinès estigués capgirada i simplement el vaig deixar tal com el vaig trobar. Gràcies per dir-ho, m'agrada saber aquestes coses.
Pel que fa a la IA. No tinc cap aspiració d'assolir cap mena d'immortalitat ara com ara, però tens raó que ves a saber que ens portarà el futur.
L'altre tema és una mica més seriós i es mereix una resposta com cal. Sé que he deixat de comentar al blog del Pons i he de dir que em sap greu per ell, però arriba un moment que tot s'acaba i a mi se m'ha acabat la paciència amb les teves "bromes". Trobo que últimament els comentaris que em dedicaves estaven arribant al que considero una falta de respecte i, a la meva edat, ja no estic per aguantar segons quines coses. Com que ja ens coneixem i per evitar malentesos, t'ho explicaré. Fa molt de temps que gairebé la totalitat dels meus comentaris al Pons's Blog reben la mateixa resposta per part teva; "En McAbeu està equivocat". Sempre m'ho he pres com una broma i malgrat que tothom sap que una broma massa repetida deixa de fer gràcia i comença a fer fàstic, mai li he donat gens d'importància i ho he deixat passar sense considerar-ho mai un problema. Però potser aquesta falta de resposta per part meva, t'ha fet entendre equivocadament que estava oberta la veda de l'insult i últimament t'has dedicat a repetir que soc una persona sense cap mena de criteri (que és el mateix que dir que soc un pobre imbècil) o, la teva última perla, en un post on en Pons parlava sobre les notes que posa als llibres que llegeix vas gosar dir-me que no soc ningú per opinar-hi. I fins aquí vaig arribar, jo als blogs hi vaig perquè m'ho passo bé i quan això no és així deixo d'anar-hi sense demanar cap explicació, però també sense donar-ne cap i punt. Això sí, no es tracta d'un punt final i segur que més aviat que tard hi tornaré perquè el blog del Pons no ha deixat d'agradar-me, però esperaré que es calmin les coses per poder començar de nou, si és possible és clar.
«Buddha said, “If someone offers you a gift and you decline to accept it to whom then does it belong?” The man said, “Then it belongs to the person who offered it” Buddha smiled, “That is correct. So if I decline to accept your abuse does it not then still belong to you?” The man was speechless and walked away.»
Jo no he dit ni escrit ni tan sols pensat en cap moment que fossis imbecil... tu mateix.
Tot un bon trencaclosques això dels quadrats màgics, però son ben entretinguts !. Ens has fet conèixer un bon recull d'ells i la seva història, que també n'és de interessant !. ;)
Salut i bon pont si en gaudeixes !!.
Super interessant tot això dels quadrats màgics. A cada lloc on ens endinsem a investigar, trobam que és molt més ampli del que podíem imaginar. Això sempre em meravella.
I perdoneu, tots dos, que m'hi fiqui, però m'agradaria donar una resposta a la citació budista de no name. No name, Buda té tota la raó i per això en McAbeu te'ls deixa tots teus, tots per a tu. Fes-ne allò que et vingui més de gust. Jo ja vaig fer-ho fa molt de temps.
NONAME: No buscava una disculpa, Ahse (ni te l'he demanada ni és necessària), però sí que m'esperava que almenys entenguessis que alguna cosa fas malament i te'n fessis responsable. En comptes d'això, optes pel camí fàcil i t'espolses la teva responsabilitat amb un grapat d'excuses de mal pagador.
Excusa 1: "La culpa és només teva". Jo em dirigeixo a tu de forma objectivament ofensiva, però si t'ofens és culpa teva que m'estàs escoltant perquè vols. No cola, un conductor borratxo també pot dir que si ha atropellat a un vianant és perquè aquest se li ha travessat per davant, però la multa se l'emportarà igual per molt que citi Buda en el seu descàrrec.
Excusa 2: "Jo no t'he dit 'imbècil' literalment". M'agraden els jocs de paraules, però no que els intentin fer servir per engalipar-me. La comunicació entre persones va més enllà de la literalitat del que es diu, tothom ho sap i segur que també saps que existeixen els sinònims.
Excusa 3: "Jo no tenia intenció d'ofendre't". Et crec, de veritat, quan dius que no has pensat mai que soc un imbècil (de fet si considerés el contrari el to que faig servir en aquests comentaris seria tot un altre), però la realitat és que m'has ofès i, com en l'exemple del conductor borratxo, el fet de no tenir la intenció d'atropellar no t'eximeix de la responsabilitat d'haver-ho fet.
Excusa 4: "L'ofesa soc jo". Aquest 'tu mateix' final és de traca, no cal ni comentar-ho.
En fi, ja m'he tornat a allargar massa intentant donar-te unes explicacions que ni vols ni t'interessen perquè ets incapaç d'acceptar una mínima responsabilitat en tot aquest afer. Deixem-ho aquí, doncs, que ja està tot dit i no cal que hi dediquem ni un minut més.
ARTUR: Sí que ho són, uns trencaclosques numèrics força interessants hi estic d'acord.
Gràcies pels desitjos. No faig cap pont aquests dies, però procuraré gaudir com cal aquesta estranya setmana d'un dia sí, un dia no. ;-))
CARME: És aquesta mateixa meravella la que sento jo quan començo a buscar informació per fer un d'aquests posts i em trobo dades que ni coneixia ni m'esperava. Per això m'ho passo tan bé fent-los. :-)
Res a perdonar, només faltaria. En aquest tema coincidim de sobres en el diagnòstic. Tots dos entenem el món dels blogs com un espai on ens volem sentir còmodes i sabem que cal fer quan en algun lloc això no passa. L'única diferència és que tu vas ser més intel·ligent i vas decidir aplicar aquest remei ben aviat, mentre que jo he aguantat massa.
Publica un comentari a l'entrada