Al recull "ENIGMAS Y JUEGOS DE INGENIO" (Grijalbo - 2011) hi trobem uns quants enigmes mentals que estan basats en algunes de les paradoxes clàssiques més conegudes.
Us els vaig oferint, traduïts al català, en una sèrie de posts dedicats a les PARADOXES. Avui és el torn de la Paradoxa del cavall que ens arriba des d'Àustria, als voltants de 1922.
Us els vaig oferint, traduïts al català, en una sèrie de posts dedicats a les PARADOXES. Avui és el torn de la Paradoxa del cavall que ens arriba des d'Àustria, als voltants de 1922.
George Pólya [1887 – 1985] (Tret d'AQUÍ)
Aquesta paradoxa la va crear el matemàtic hongarès George Pólya com a exemple de com els principis de la lògica i la matemàtica es poden aplicar malament quan no es procedeix amb rigor.
Tenim un grup de 5 cavalls. Si podem provar que en qualsevol grup de 4 cavalls són tots del mateix color, llavors, atès que es pot dividir un conjunt de 5 en subconjunts de 4 cobrint totes les possibles combinacions, el conjunt de 5 ha de ser d'un únic color.
Per tant, podem utilitzar la mateixa inducció lògica i afirmar que es pot provar que els grups de 4 són monocroms a partir de conjunts de 3; grups de 3 a partir dels de 2; i, finalment, grups de 2 a partir dels d'1. I, com que qualsevol cavall és inevitablement del mateix color que ell mateix, d'aquesta manera queda demostrat que en tots els grups de cavalls tots els animals són sempre del mateix color.
On és l'error?
Tenim un grup de 5 cavalls. Si podem provar que en qualsevol grup de 4 cavalls són tots del mateix color, llavors, atès que es pot dividir un conjunt de 5 en subconjunts de 4 cobrint totes les possibles combinacions, el conjunt de 5 ha de ser d'un únic color.
Per tant, podem utilitzar la mateixa inducció lògica i afirmar que es pot provar que els grups de 4 són monocroms a partir de conjunts de 3; grups de 3 a partir dels de 2; i, finalment, grups de 2 a partir dels d'1. I, com que qualsevol cavall és inevitablement del mateix color que ell mateix, d'aquesta manera queda demostrat que en tots els grups de cavalls tots els animals són sempre del mateix color.
On és l'error?
Podeu dir-hi la vostra als comentaris, a veure si entre tots en traiem l'entrellat. De totes maneres si, com en qualsevol bona paradoxa, el plantejament us sembla massa enrevessat per arribar a alguna conclusió, a continuació podeu trobar el punt de vista de l'autor del llibre d'on he tret aquest enigma:
SOLUCIÓ
11 comentaris:
En incògnites sobre èquids l'única que vaig saber resoldre (i em va costar!) va ser aquella de "De quin color era el cavall blanc de Sant Jaume?"
En la paradoxa que ens exposes, no en sé dir la resposta ni tan sols després d'haver llegit la solució.
XAVIER: Aquesta pregunta del cavall blanc de Sant Jaume és un clàssic dels enigmes que inclouen la resposta a l'enunciat i que l'únic que volen provar és que, més sovint del que ens pensem, no prestem prou atenció quan ens plantegen una incògnita a resoldre. Estic d'acord amb tu, la resposta és òbvia... però, de vegades, costa trobar-la.
La paradoxa d'avui és una altra cosa. De fet, el que fa l'autor és portar fins a l'absurd una demostració matemàtica per fer-la arribar a un punt on ja no es compleix. Quan ens adonem d'això, la paradoxa deixa de ser-ho.
Jo com en Xavier, ni amb la resposta!
Però si he de dir que amb el teu comentari ho he entès. És que els matemàtics ho embullen tot de tal manera que només ells ho entenen. També he de confessar que avui és dilluns i les meves neurones són el que són. 😉
Aferradetes, Mac.
SA LLUNA: Els matemàtics estan molt fets a la seva, no s'hi pot fer res. :-D
M'alegro que la meva explicació t'hagi servit per entendre el plantejament.
I perquè quedar-se aquí? I si tenim zero cavalls tindrem que zero cavalls de zero colors. I si tenim mig cavall tindrem mig cavall de mig color I si tenim -1 cavall tindrem -1 colors. I si tenim Pi cavalls, tindrem pi colors. Però la pregunta realment important es: De quin color és el cavall blanc de Sant Jaume?
PONS: La conclusió (falsa) de la paradoxa del professor Pólya és que en qualsevol conjunt de cavalls tots han de ser del mateix color. I això inclou, fins i tot, els conjunts de PI cavalls. Ara bé, que la conclusió a què arribem aplicant la paradoxa sigui falsa, no implica que la teva que la contradiu sigui, per força, correcta... ;-D
Aquesta última pregunta és important i també interessant. Primer caldria acceptar que Sant Jaume es dediqués a matar sarraïns dalt d'un cavall i després que l'animal fos de color blanc. Si aquests dos punts els tenim clars, aleshores la resposta és "blanc". ;-)
Si com diu la resposta, sempre seran del mateix color dins de cada grup, però no entre tots, ho veig una mica més clar...però no gaire més ! hehehe
Lo del enigma "extra" del cavall de Sant Jaume, potser també te el seu engany, per exemple que s'anomenés" Blanc i no per això hauria de ser blanc ! hehe.... aquí hi ha un altre misteri !.
ARTUR: Es pot veure més clar fent el problema més petit. Imagina que tenim tres cavalls (a, b i c) i ens diuen que si en triem dos qualssevol, sempre seran del mateix color. És a dir que els tres subconjunts possibles en aquest cas [(a, b) (a, c) (b, c)] han de ser sempre d'un únic color. És fàcil veure que perquè això es compleixi només ens queda l'opció que els tres cavalls siguin del mateix color.
Aquesta demostració matemàtica es compleix sempre i per a qualsevol quantitat de cavalls mentre els subconjunts que triem comparteixin elements i, per tant, se superposin. Quan l'autor de la paradoxa obvia això i ho aplica també als subconjunts d'un sol cavall és quan arriba a la conclusió que tots els grups de cavalls que veiem han d'estar sempre formats per animals del mateix color. Una conclusió paradoxal perquè, si no tenim en compte el que acabo de dir, sembla funcionar matemàticament mentre tots sabem que no és així en la realitat.
M'ha agradat molt aquest tomb de rosca que li has donat a l'enigma del cavall Blanc que podria ser blanc o no. Un plantejament lateral que ofereix una resolució diferent de l'enunciat. Felicitats!
Gràcies, McAbeu , per la teva explicació ampliada !. Molt Bé !.
De vegades em pregunto per què se'm considera de ciències pels estudis que vaig fer... les matemàtiques i jo no serem mai amigues, des de tercer o quart d'EGB, mmoment en que era un crac en mates, que la relació va començar a trencar-se. A Selectivitat ja vaig demostrar que allò seria irreconciliable. Però és que ni tan sols els cavalls m'apassionen... Quin desastre, avui. Però consolem-nos, hi ha una cosa que se'm dona encara pitjor que les matemàtiques: la física.
ARTUR: No es mereixen. ;-)
XEXU: El problema és, justament, que siguis de ciències. Com expliques, pots ser tan poc amic de les matemàtiques com els de lletres, però no pots fer servir els teus estudis d'excusa. Això és molt injust. :-DD
Publica un comentari a l'entrada