BOTIGA ONLINE
elmagatzem.blogspot.com
LLibres d'ocasió a 1, 3, 6, 9 i 12 €

dilluns, 26 de desembre de 2011

387.- L'edat de l'arquitecte

387.- Tenim 1500 llambordes de forma cúbica i totes iguals per pavimentar una plaça quadrada. Una vegada pavimentada tota la plaça, l'arquitecte municipal veu que han sobrat moltes llambordes i decideix construir al centre de la mateixa un cub de pedra. Però, encara que per fer el cub s'han utilitzat el mateix nombre de llambordes que s'han fet servir per fer el paviment, en continuen sobrant. Si n'han sobrat tantes com anys té l'arquitecte, podeu dir-nos la seva edat?
(Recordeu que, per guanyar els punts del concurs, no només heu de donar el resultat numèric que respon la pregunta sinó que també heu d'explicar breument les deduccions que us han permès arribar a la solució.)

Aquest enigma forma part del
1r. CONCURS XAREL-10 d'ENIGMES i ENDEVINALLES,
consulteu-ne les Normes de Participació

TROBAREU LA SOLUCIÓ ALS COMENTARIS.
Guanyen 1 PUNT pel Concurs: ALLAU, PONS007, ASSUMPTA, JORDI, XEXU, JPMERCH, CARME i YÁIZA.


18 comentaris:

Alba ha dit...

uiiiii, no em veig pas capaç de resoldre aquest enigma! Si després del dinar, amb aquelles copetes de més, em veig més insipirada, torno!!! Feliç dia de Sant Esteve!!! ;)

Martí ha dit...

Tenim 1500 lambordes. Per fer dues coses de la mateixa mida aproximadament hi ha la meitat de llambordes per cada cosa( 750). Per tant ens cal trobar el número de llambordes inferior i més pròxim a 750 que ens permeti fer un quadrat i un cub. Aquest és 729 . La plaça 27x 27 i el cub 9x9x9. Amb aquest números queda que em utilitzat 1458 llambordes, per tant en sobren 42.

L'arquitecte té doncs 42 anys

Assumpta ha dit...

Bé, segons les previsions "Per acabar el Concurs falten dues endevinalles "faciletes", un parell d'enigmes (un matemàtic i un lateral) potser una mica més complicats...", aquest és el matemàtic.

Bé, aquest és dels que ja tenia previst fallar, perquè fer 1.500 petits cubs de cartolina deu ser complicat... tot i què... i si els faig en plastilina? :-DDD

Clar que, això em sona a divisió volumètrica de l'espai! :-P... En fi, jo intentaré fer alguna cosa, però crec que aquest millor que el deixi per l'ALLAU :-))

Allau ha dit...

Per pavimentar una plaça quadrada de costat “a” es necessiten a^2 llambordes i per construir un cub de costat “b” fan falta b^3 llambordes. Ens diuen que el nombre de llambordes coincideix, o sigui que a^2 = b^3. Per tant, necessitem trobar un número que sigui a la vegada un quadrat i un cub. Aquest haurà de ser de la forma x^6, així es podrà expressar com un quadrat (x*x*x) * (x*x*x) o com un cub (x*x) * (x*x) * (x*x).

Comencem a provar amb valors petits. Amb 1 i 2, resulta una edat absurda. Amb 3 la cosa funciona, 3^6 és 729, amb 729 llambordes es pot fer una plaça de costat 27 i també un cub de costat 729. Si sumem les llambordes dóna 1458 i restant de 1500 obtenim 42 que deu ser l’edat de l’arquitecte.

Assumpta ha dit...

Ostres!! No pot ser!! crec que el tinc!! L'arquitecte té 42 anys!!

Acabo d'esmorzar i vinc a explicar-ho :-))

pons007 ha dit...

y = Edat Arquitecte
z = nº llambordes lateral del cub
x = nº llambordes lateral de la plaça

1500 = X^2 + z^3 + Y
x^2 = z^3

1500 = 2x^2 + y

Provem per:
x = 25; llavors y = 250; no...
x = 26; llavors y = 148; no...
x = 27; llavors y = 42; potser.
x = 28; llavors y = -68; no...

Per tan l'arquitecte hauria ha de tenir 42 anys!

Assumpta ha dit...

Ara que ja m’he pres el cafè amb llet calentó i el sandvitx de sobrassada, passo a explicar els raonaments (espero que correctes) que m’han portat a donar la solució que L’ARQUITECTE TÉ 42 ANYS.

- En primer lloc he vist que 1.500 no era un número massa elevat i que jo era capaç d’imaginar (visualitzar) formes i volums amb dimensions corresponents a les quantitats de llambordes que s’havien d’utilitzar.
- En segon lloc he pensat que l’enigma havia de tenir una solució lògica, que no podia ser que l’arquitecte tingués 316 anys o que en tingués 2, així que he decidit que n’havia de tenir entre 25 i 65.
- En tercer lloc he recordat que qualsevol quantitat elevada al cub ràpidament es fa gran i he vist que estàvem parlant de potències amb una base no massa alta.

El primer que he fet ha estat triar un número (ja dic, no massa gran) per posar-lo al cub amb la calculadora, és clar. El número que em donés, seria el de llambordes del cub central i hauria de ser un número que, traient l’arrel quadrada donés exacte (he recordat que l’arrel quadrada és l’operació inversa a elevar al quadrat) doncs l’enunciat diu que s’han utilitzat el mateix número de llambordes per pavimentar la plaça, que és quadrada, que per fer el cub central.

A més, el primer que havia de comprovar és que el resultat d’elevar al cub aquest número triat, multiplicat per dos (el mateix número de llambordes en el cub que en la pavimentació) havia de ser bastant proper a 1.500 perquè ens donés una edat lògica en l’arquitecte.

He triat el 8... he fet 8 x 8 x 8 i m’ha donat 512... automàticament l’he rebutjat perquè ja he vist que 512 + 512 dóna 1.024 (això sense calculadora, eh?) i, clar, restant de 1.500 ens donaria que l’arquitecte té més de 400 anys.

Llavors he provat amb 9 i he fet 9 x 9 x 9 i m’ha donat 729... i ja m’he posat contenta perquè, ràpidament he vist que 729 + 729 havia de donar una xifra adequada a una edat humana. He fet la suma (amb calculadora) i m’ha donat 1.458.

Restant a 1.500 la quantitat de 1.458 m’ha donat: 42.

Em faltava comprovar si l’arrel quadrada de 729 donava exacte... Horror!! Jo no sé fer arrels quadrades i la calculadora no en fa!!... Res, he googlejat una pàgina que fes arrels quadrades i he trobat aquesta (Tot i que primer no entenia què volien dir els botons!! Però passant el ratolí per damunt em deia què feia cada cosa... menys mal)

Així doncs, he fet l’arrel quadrada de 729 i m’ha donat exacte!!! 27!!

O sigui:

- La plaça té una extensió de 27 x 27 llambordes que fan un total de 729 llambordes.
- El cub fa 9 x 9 x 9 llambordes, que dóna un total de 729 llambordes.
- En total s’han utilitzat 1.458 llambordes.
- La diferència entre les 1.500 que teníem i les 1.458 utilitzades ens dóna que L’ARQUITECTE TÉ 42 ANYS
.

Tan sols em fa por una cosa... i és que jo he calculat que el cub es veu sencer DAMUNT el pavimentat... vull dir que aquest cub, SOTA LA BASE, tindrà una altre “capa” de llambordes (les corresponents al pavimentat) però, clar, aquestes són del pavimentat i no del cub, no? En fi, que jo ho deixo tal com he dit: 42 anys té l’arquitecte.

Jordi ha dit...

Bon dia de Sant Esteve a tots. Assumpta, no m'he oblidat :D. Com a molt no podré passar-me algun dia per compromisos però no per oblidar-me :DDD

Problema d'avui: Assumeixo que el cub està fet sobre el paviment. Per tant, el nombre de llombardes d'un cub de costat X serà X³ (ostres, hem surt ben escrit!!! sense el barret!!!!). Les llombardes de la plaça són el mateix nombre X³ per tant en total hem gastat 2X³ llombardes (ll)

2X³ ll usades <1500 ll totals

Obtenim X³<9.08 ll Agafem el natural inmediatemanet inferior X=9 ll. Llavors tenim:

X³= 729 ll al cub

729 ll al cub + 729 ll al paviment = 1458 ll gastedes en total.

1500-1458= 42 llambordes sobren que són igual a l'edat de l'arquitecte: 42 anys.

Es verifica que X=8 l'edat no seria humana i els arbres fins a la data no són arquitectes. i que X=10 el nombre de llambordes és, evidentment, superior a les 1500.

Elfreelang ha dit...

Uf molt difícil o és que estic cúbica com les llambordes...a veure forma cúbica vol dir cub o sigui que cada llamborda és quadrada suposem que la plaça fa ...no puc és superior a mi...si més tard m'il-lumino tornaré...que sóc de lletres jo

XeXu ha dit...

Dono una primera resposta abans del dinar de Sant Esteve, no fos cas que quedi tan KO després que no pugui ni pensar.

Dic que l'arquitecte té 42 anys.

El meu sistema de càlcul és tan cutre que no l'hauria ni d'explicar, però com que és obligatori... Partim de 1500 llambordes cúbiques. Tenint en compte que la plaça i el cub del mig tenen el mateix número de peces, podem dividir el nombre total entre les dues parts, i per tant, a cada part li corresponen 750 llambordes. Però 750 llambordes no ens donen per fer ni un quadrat ni un cub perfectes, o ens en falten o ens en sobren. Ara volem que ens en sobrin, per tant, fent l'arrel quadrada de 750 per fer la plaça sabrem l'aresta d'aquesta, que són 27 llambordes més unes quantes que sobren, que són 21 llambordes. El mateix podem fer pel cub, fent l'arrel cúbica, i veurem que també en sobren 21. És a dir, que tant per la plaça com pel cub s'han utilitzat 729 llambordes, i ens en sobren un total de 42 de les 1500 que teníem. I això fa que l'arquitecte sigui un maduret interessant (i amb pasta, és clar).

Jpmerch ha dit...

Els únics números que són quadrats i cubs perfectes alhora en aquest rang són l'1, el 64 i el 729. L'1 i el 64 són incompatibles amb una edat lògica de l'arquitecte, Llavors prenem el 729, l'arrel quadrada del qual és 27 i l'arrel cúbica 9. Tindríem una plaça de 27x27 llambordes i un cub al centre de 9x9x9. El total del llambordes utilitzades serien 729x2=1458 i l'edat de l'arquitecte 1500-1458=42 anys.

Carme ha dit...

L'arquitecte té 42 anys.

Primer he trobat un cub que fes una mica menys de la meitat de 1500.

Un cub de 9 llambordes de costat:

9 x 9 x 9= 729 llambordes

A la plaça se n'han gastat igual

729 x 2 = 1.458

1.500 - 1.458 = 42 anys

Yáiza ha dit...

Vejam... estic segura que, com sempre, hi ha una manera més elegant de resoldre l'enigma. Però jo faig el que puc.

D'entrada he plantejat el següent:

- El número de llambordes usades per la plaça (direm que són Z llambordes) és el mateix que les llambordes usades pel cub (Z, també).

- En el cas de la plaça, parlem d'una superfície quadrada, així que Z = x2.

- En canvi, en el cas del cub, parlem d'un volum, així que direm que Z = y3.

Això és important perquè com que no partirem llambordes a trossets, el número Z ha de ser una xifra de la que poguem fer-ne l'arrel quadrada i l'arrel cúbica tenint com a resultats nombres enters.

Amb tot això, plantegem dues equacions:

Amb les 1500 llambordes en fem la plaça (Z) i el cub (altre cop Z), així que diem 2Z. I ens sobren tantes llambordes com anys (a) té l'arquitecte. Així que:

1500 = 2Z + a

o el que és el mateix

1500 = x2 + y3 + a

És a dir que l'edat (a), és...

1500 - 2Z = a

I també sabem que,

Z = x2 = y3.


O sigui que, de moment, busquem Z, que ha de ser un número del que en puguem fer l'arrel cúbica i l'arrel quadrada. I que al multiplicar-lo per dos, el restem a 1500 i ens doni una xifra plausible per ser una edat humana. Per tirar llarg, podríem dir entre els 18 i els 150 anys, no?

1500 - a = 2Z

Si l'arquitecte fos mooooolt jovenet, tindríem:

1500 - 18 = 2Z
Z = 749

I si l'arquitecte fos un iaio centenari,

1500-150 = 2Z
Z= 675

O sigui, que Z hauria de trobar-se entre 675 i 749.

Les seves arrels quadrades són 25'9 i 27'3. Recordant que l'arrel quadrada del número Z seran les llambores que hi ha per costat a la plaça, i que han de ser un número sencer. Per tant, només podem provar el 26 i el 27.

26 x 26 = 676

27 x 27 = 729

D'aquestes dues opcions, ens hem de quedar aquella que tingui una arrel cúbica exacte, i aquest és el cas del 729. La seva arrel cúbica és 9.

És a dir que, recapitulant:

Z = 729 --> número de llambordes usades per la plaça i pel cub, respectivament.

La plaça s'ha fet amb 27x27 llambordes.

El cub s'ha fet de 9x9x9 llambordes.

En total s'han usat 729+729 llambordes (2Z), és a dir 1458.

I per tant:

1500 - 1458 = a = 42

L'arquitecte té 42 anys!


Apa... no sé si estarà bé, però el raonament, més raonat, no el podria haver fet!!! ;)

Mireia ha dit...

Jo no hi ha maneres d'endevinar-ho però aquest matí he fet escriure en Martí la solució sense enrecordar-me de les normes , així que com que no l'hi pots contar els punts a ell, no ho pots fer per "unitat familiar"? hehehe.

McAbeu ha dit...

La solució del LLIBRE és: Si el número de llambordes utilitzades per fer el paviment quadrat i el cub han estat les mateixes això indica que la meitat del total de llambordes ha de ser un número que és a la vegada un quadrat (n²) i un cub (n³), i per tant es pot calcular fent n6 = 1, 64, 729, 4096, 15625, ... D'aquests valors podem descartar els massa alts i els massa petits que no compleixen l'enunciat i així tenim que les llambordes sobrants són 1500 – 729 – 729 = 42 anys.

Una solució que, en general, no us ha costat trobar i que dóna 1 PUNT pel Concurs a: MARTÍ, ALLAU, PONS007, ASSUMPTA, JORDI, XEXU, JPMERCH, CARME i YÁIZA.

Felicitats a tots!! :-))

PS: MIREIA, per què no puc donar punts a en MARTÍ?. No hi ha cap norma que prohibeixi rebre nous concursants en qualsevol instant del concurs. En canvi, el què no deixen fer les Normes és això d'agrupar punts per "unitats familiars" per tant és una llàstima que en MARTÍ no et passés la solució, ara tindries un punt més.

Mireia ha dit...

Mc, en Martí no recordava si abans havia deixat o no algun comentari al blog ( i aquesta ea una de les normes bàsiques). Em va voler "cedir" la solucio però no vaig voler fer trampes ;)

McAbeu ha dit...

MIREIA: He comprovat la llista de comentaristes del XAREL-10 i tens raó que no em consta que MARTÍ hagués deixat un comentari abans. En conseqüència he de dir que m'he equivocat al donar-li un punt pel seu encert i a continuació ho rectifico. El que si em sap greu és no poder rectificar el fet de no poder donar-te'l a tu, si tu mateixa dius que no vols fer trampes no em demanis que les faci jo. :-)

Per tant, aquest enigma fa guanyar 1 PUNT pel Concurs a: ALLAU, PONS007, ASSUMPTA, JORDI, XEXU, JPMERCH, CARME i YÁIZA.

Assumpta ha dit...

Ostres!! Estic impressionada!! Gràcies al Joc 1000 encara aprendré matemàtiques i tot! :-))

Hahaha JORDI... de fet jo no volia que et passés res, eh? ;-) tan sols que el teu subconscient pensés que Sant Esteve era festa i... :-DDD

Publica un comentari a l'entrada