BOTIGA ONLINE
elmagatzem.blogspot.com
LLibres d'ocasió a 1, 3, 6, 9 i 12 €

dilluns, 29 d’abril de 2013

517.- Agrupem i sumem?

517.- Agafem els nombres naturals imparells menors d'un milió (1, 3, 5, 7, ... , 999.999) i els agrupem en conjunts correlatius de cada vegada un element més. Així el conjunt 1 constaria d'un element [1], el conjunt 2 de dos [3, 5], el 3 de tres [7, 9, 11], el 4 de quatre [13, 15, 17, 19] i així successivament fins acabar. Quant sumen els números que formen el conjunt núm. 65?

TROBAREU LA SOLUCIÓ ALS COMENTARIS.
FELICITATS A " Jordi i Jpmerch "

17 comentaris:

Lluna ha dit...

Marededeusinyor!!!! Mc que es última hora i les neurones ja no donen...
Me'n vaig a fer grupets ;)

Bona nit Mc!!!

Assumpta ha dit...

Tot el dia esperant i resulta que és matemàtic i difícil... ai, Senyor!! :-P

Jordi ha dit...
L'autor ha eliminat aquest comentari.
Lluna ha dit...

No he entes res Jordi, però segur que tens raó, només de veure tant número junt ja m'he marejat.

Molt bona nit a tothom!!!

Jordi ha dit...

L'altra solució era demanar a la dependenta d'una botiga de queviures 65 paquetets de cigronets correlatius de cada vegada un element més. Però t'arrisques a rebre un bon mastegot, com a mínim.

Jordi ha dit...

Ui, m'explicaré millor, Lluna :P .

En tot l'argument utilitzem constantment la igualtat 1+2+3+4+...+n=(n+1)*n/2. Per exemple, 1+2+3=3*4/2=6. És un fet vist per un Gauss en plena infància (li demanaven sumar 1+...+1000, i ell va ser més llest), i es pot veure aparellant els sumands dels extrems cap al centre de la suma:

1+2+...+n = (n+1)+((n-1)+2)+... = n+1 + n+1 + ... (n/2 vegades) = (n+1)*n/2

Cada conjunt té un un element més que l'anterior, i comença pel senar número 1+...+(n-1)+1. Per exemple, el segon conjunt comença pel senar número 1+1. El tercer pel senar número 1+2 +1 (el número d'elements dels d'abans, més 1, perquè és el següent). El quart, comença pel senar número 1+2+3 +1 (visualment, [1],[2,5],[7,9,11]---> el següent!) Llavors, el conjunt número 65 comença pel nombre senar que apareix en la posició

(1+2+...+64)+1 = 1+64*(64+1)/2 = 2081

Està clar que el número senar apareixent en la posició n és 2n-1 (de la mateixa manera que el parell número n és 2n). Això és, el nostre conjunt comença per 2*2081-1 = 4161 .

I com que té 65 elements, que són

[2*2081-1, 2*(2081+1)-1, 2*(2081+2)-1,...,2*(2081+64)-1]

acaba per 2*(2081+64)-1 = 4289. Així que volem sumar

4161+4163+...+4289

Separem un 4160 de cada sumand

(4160+1)+(4160+2)+...+(4160+65)=
65*4160+(1+2+...+65)

i utilitzem 1+...+n=n(n+1)/2 altre cop

65*4160+65(65+1)/2 =
272545

Si és correcte, que no sé jo. És molt fàcil equivocar-se en aquestes coses, per això són divertits aquests problemetes. :)

Jordi ha dit...

Veus? ja m'he equivocat. Al final és

(4160+1)+(4160+3)+...+(4160+129)=
65*4160+(1+2+...+129)

La suma dels primers n senars es fa amb la mateixa idea que abans

1+3+...+(2n-1)=n^2

Com que 129=2*65-1, és

65*4160+65^2 = 274625

Aaaaara. :P

Sergi ha dit...

Jo he fet els (meus) càlculs i em dóna 276770.

El primer que he fet ha estat buscar a partir de quin número comença el grup 46. Per fer això he observat que el grup 1 comença al primer element, el grup 2 + el grup 1 són 3 elements. El grup 3 + el grup 2 + el grup 1 són 6 elements. En definitiva tenim una sèrie que fa (1, 3, 6, 10, 15 i cada nou element suma el que s'ha sumat abans +1). Seguim aquesta sèrie fins a l'ordinal 64 i veiem que els 64 primers grups ocupen els primers 2080 números de la sèrie. Per tant, el grup 65 va de l'element 2081 (que és el nombre imparell 2081*2-1 fins al nombre (2081+65)*2-1). I el resultat ha donat 276770.

Pot ser que m'hagi equivocat perquè mentre escrivia l'explicació he canviat 2 cops el resultat però crec que aquesta és la bona.

Assumpta ha dit...

En aquest blog entra gent mooooolt intel·ligent... però molt, molt :-)))

Us felicito... Tant si la xifra aconseguida per uns o per altres és la correcta, només veure com ho plantegeu ja em poso a fer reverències ;-))

Sergi ha dit...

Ah, mira, mentre feia als càlculs he vist que el Jordi ho ha fet més clar i a més no s'ha equivocat. La solució, efectivament, és 274625.

Jpmerch ha dit...

Bon dia!

Arribe tard. Ho he fet i em dona també 274625.

McAbeu ha dit...

Diuen que tots els camins porten a Roma i en el cas d'aquest enigma, això s'ha tornat a demostrar.
El LLIBRE ens confirma que la resposta correcta és 274.625, una solució a la que JORDI i SERGI (i potser també JPMERCH, encara que no ens ho explica) hi arriben fent una sèrie de càlculs llargs i complicats (la prova és que tots dos s'equivoquen al donar la seva primera resposta) però això no vol dir que no estiguin bé. Així que tots tres es mereixen les felicitacions per haver resol l'enigma i en JORDI a més el rètol vermell per haver estat el primer. :-)

Però, i tornant als camins que porten a Roma, que em diríeu si us dic que el camí que ha triat el LLIBRE per trobar la solució és molt més curt?. Tant curt que troba la mateixa resposta fent servir només un únic càlcul?. A veure si algú descobreix per on va la cosa que hi ha en joc mig rètol vermell. ;-D

Jpmerch ha dit...

Si sumem els components de cada sèrie del enunciat, veiem que aquesta suma és igual al número de la sèrie elevat al cub, aleshores la suma de la sèrie 65 serà 65 al cub que és 274625.

Lluna ha dit...

Ja em semblava a mi que el LLIBRE (i en Mc) no ens podien posar un enigma amb una explicació (la d'en Jordi, en Sergi i en Jpmerch) tan complicada. aquesta que proposa en Jpmerch ara s'hi adiu més ;P

Bon vespre genteta!!!

McAbeu ha dit...

La LLUNA té tota la raó, és difícil que el LLIBRE (i jo) us proposem un enigma on calgui desplegar els vostres coneixements matemàtics al nivell de l'explicació d'en JORDI, per exemple. Generalment aquests enigmes tenen un "truc" que facilita la seva resolució i, en aquest cas, aquest és adonar-se que els conjunts creats tenen la particularitat que la suma dels seus elements correspon a elevar al cub el número d'ordre del conjunt, per tant la suma del conjunt 65 serà 65^3 = 274.625, com molt bé diu en JPMERCH al seu últim comentari. Felicitats!

Dit això, també vull dir dues coses més.
La primera és que m'han agradat molt les explicacions de JORDI i SERGI perquè està molt bé comprovar que, com deia ahir, hi ha més d'un camí per arribar a un mateix resultat. Així que el meu agraïment per haver solucionat l'enigma i sobretot per haver-nos explicat com ho havien fet. Gràcies i Felicitats!!
I la segona, és avisar-vos que quan dic que és difícil que apareguin enigmes on calguin grans coneixements matemàtics no estic dient que sigui impossible. No us en refieu que el LLIBRE té cops amagats, de vegades. :-DD

Assumpta ha dit...

Oh, sí, quin truc... "els conjunts creats tenen la particularitat que la suma dels seus elements correspon a elevar al cub el número d'ordre del conjunt, per tant la suma del conjunt 65 serà 65^3 = 274.625"... facilíssim... sí... molt, molt fàcil

(No he entès res de res ;-P)

McAbeu ha dit...

ASSUMPTA: Ja sé que els matemàtics no són els teus enigmes preferits, però "res de res" és molt poca cosa, eh!. :-P
De totes maneres no em fa res explicar "el truc", pas a pas:
1.- Suma dels elements dels conjunts: Conjunt 1 = 1, Conjunt 2 = 3 + 5 = 8, Conjunt 3 = 7 + 9 + 11 = 27, etc, etc.
2.- Elevar al cub el número d'ordre del conjunt: Conjunt 1 = 1^3 = 1x1x1 = 1, Conjunt 2 = 2^3 = 2x2x2= 8, Conjunt 3 = 3^3 = 3x3x3 = 27, etc, etc.
Com has vist, el resultat de suma els elements de cada conjunt és el mateix resultat d'elevar al cub el número d'ordre de cada conjunt. Per tant és fàcil deduir que per trobar la suma dels elements del conjunt nº 65, només cal fer 65x65x65 = 274625.
Millor ara?, perquè si em tornes a dir que no has entès "res de res", dimiteixo!. :-DDD

Publica un comentari a l'entrada