BOTIGA ONLINE
elmagatzem.blogspot.com
LLibres d'ocasió a 1, 3, 6, 9 i 12 €

dimecres, 16 de març de 2011

314.- Un hotel centenari

314.- Un hotel de 100 habitacions té 100 cambrers. Cada nit el cambrer 1 tanca totes les portes, el 2 obre les que tenen número parell, el 3 canvia la posició de les portes múltiples de 3, el 4 canvia la posició de les múltiples de 4 i així fins l'últim. Quines portes queden tancades al final?

TROBAREU LA SOLUCIÓ ALS COMENTARIS. FELICITATS A "Josep B i Quim Soler"

13 comentaris:

Melo ha dit...

canvia de posició vol dir que si esta oberta la tanca i si esta tancada l'obre?

McAbeu ha dit...

MELO: Això mateix!

Elfreelang ha dit...

quin embolic!

captaire ha dit...

Cap. Les frontisses no aguantaran tant moviment i cauran les portes.

Si fos 'lateral' la meva resposta hauria estat: les que no estiguin obertes.

Assumpta ha dit...

Però per què fan tot això els cambrers? I l'amo ja ho sap que perden el temps amb tot aquest joc de portes?

Josep B. ha dit...

L'explicació matemàtica del perquè se m'escapa, tanmateix he pogut comprovar (amb full de càlcul) que les portes que queden tancades són:

1 (0+1)
4 (3+1)
9 (5+4)
16 (7+9)
25 (9+16)
36 (11+25)
49 (13+36)
64 (15+49)
81 (17+64)
100 (19+81)

A veure si a algú se li acut la fórmula (a mi m'estava sortint una equació quilomètrica).

Quim Soler ha dit...

A veure... és complicat d'explicar.
Per la resposta d'en Josep B. ja es veu que les que queden tancades coincideixen amb els quadrats perfectes.

Els nombres primers, quedaran oberts (l'1 el tanca i el seu propi nombre l'obre)

Els que no són primers i no són quadrats perfectes, quedaran oberts, ja que per cada descomposició factorial en dos nombres, un el tancarà i l'altra l'obrirà. Per exemple, si agafem el 28, és 1x28, 2x14 i 4x7. Per tant, cada parell de nombres l'obrirà i el tancarà (el 2 l'obrirà, el 14 el tancarà, el 4 l'obrirà, el 7 el tancarà).

En canvi, els quadrats perfectes, tindràn un terme (l'arrel quadrada) que només farà un canvi obert/tancat, i per això la porta quedarà tancada. Per exemple, el 36 es pot descomposar en 2x18, 3x12, 4x9 i 6x6. Aleshores, el 2, 3 i 4 es compensaran amb el 18, 12 i 9, i per tant mantindran la porta oberta. Però el 6 serà el que la manté tancada, ja que no té parell (el parell és ell mateix).

Uix, quin garbuix, no sé si algú ho entendrà!!!

Josep B. ha dit...

Ostres Quim! no m'havia fixat en que eren quadrats.

Suposo que estava cercant una seqüència

Assumpta ha dit...

Uhmmm... d'acord... però després, algú haurà de tornar a tancar les portes que aquesta colla de gamberrets s'han passat la nit obrint i tancant, no? Quin personal!!

McAbeu ha dit...

Com apunta ELFREELANG (i em sembla que CAPTAIRE i ASSUMPTA també hi estarien d'acord) aquest hotel sembla "l'Hotel dels Embolics" dels germans Marx amb tot aquest joc de portes. :-))
Però es veu que la cosa té una solució matemàtica i la del LLIBRE és 314.- Les portes que queden tancades es calculen anant sumant els números prims no parells. Per tant seran les portes: 1, 4 (1+3), 9 (4+5), 16 (9+7), 25 (16+9), 36 (25+11), 49 (36+13), 64 (49+15), 81 (64+17) i 100 (81+19); que com veieu és exactament la que dóna en JOSEP B i explica en QUIM SOLER. Felicitats!!

Quim Soler ha dit...

No entenc això dels nombres primers no parells. Per exemple, 25 és imparell i, per tant, no pot ser la suma de dos imparells. I si vol dir que sumem un nombre primer a l'anterior de la sèrie (16+9), tampoc serveix, ja que 9 no és un nombre primer.

McAbeu ha dit...

QUIM: Doncs tens raó. La solució es referia a això segon que dius, però és veritat que hi ha algunes portes (25 (16+9), 64 (49+15),...) on això dels nombres prims no es compleix. L'enigma no me'l vaig inventar jo així que vaig a consultar les fonts, a veure si em vaig equivocar en alguna cosa. Ara torno!

McAbeu ha dit...

Doncs si, l'error va ser meu a l'intentar resumir la solució i no adonar-me'n que el que vaig posar no es complia en totes les portes.
La solució completa seria: 314.- Només quedaran tancades les portes per les que hagi passat un nombre senar de cambrers. Com que cada pas d'un cambrer es correspon amb un submúltiple de la porta que aquest obre o tanca, veiem que per cada porta passen tants cambrers com divisors tingui el número de la porta i, per tant, quedaran tancades les portes que tinguin un nombre senar de divisors. Per trobar els divisors d'un nombre (N) hem de descompondre'l en factors de nombres primers: N = x^a·y^b·c^g ... z^l i es demostra que el nombre total dels seus divisors (incloent 1 i el propi N) és: Div (N) = (a+1)·(b+1)·(g+1)...(l+1)
Aquest valor només pot ser senar si ho són tots els termes entre parèntesis, és a dir si a, b, g ... l són parells i això es dóna si N és un quadrat perfecte. Per tant, quedaran tancades les portes 1, 4, 9, 16,etc, etc...
.

Publica un comentari a l'entrada